Hasil Kali Titik Pada Vektor (Dot Product)

contoh soal Hasil Kali Titik Pada Vektor (Dot Product)

Jika u dan v adalah vektor-vektor di ruang-2 dan ruang-3 dan $\theta$ adalah sudut diantara u dan v, maka hasil kali titik (dot product) atau hasil kali dalam Euclidis (Euclidean inner product) u.v didefinisikan oleh

u.v =

artinya panjang vektor u dan didefinisikan sebagai

(jika di ruang-2) dan

(jika di ruang-3). Panjang sebuah vektor juga dikenal dengan nama norma. Secara geometris dapat dilukiskan seperti pada gambar dibawah ini.

Gambar 1 : vektor pada ruang-2

Jika kita perhatikan, vektor u yang melalui titik asal tersebut membentuk segitiga siku-siku terhadap sumbu-x. Kita bisa memanfaatkan Rumus Pythagoras yaitu

= u₁² + u₂² $\Rightarrow$

Gambar : vektor pada ruang-3.

Dengan memanfaatkan Rumus Phytagoras juga, diperoleh

= (OR)² + (RP)²

= (RS)² + (OS)² + (RP)²

= (OQ)² + (OS)² + (RP)²

= u₁² + u₂² + u₃²

Penting untuk diketahui juga bahwa sifat – sifat pada perkalian titik vektor dibawah ini :

Misalkan u, v dan w adalah vektor di ruang-2 atau ruang-3 dan k adalah skalar, maka

v.v = yakni = (v.v)^1/2
Bukti :Karena vektor v berimpit dengan vektor v itu sendiri maka $\theta$ adalah sudut diantara v dan v adalah 0⁰, diperolehv.v = cos $\theta$ = cos 0
=
Jika u dan v adalah vektor – vektor taknol dan adalah sudut di antara kedua vektor tersebut, maka
lancip jika dan hanya jika u.v > 0 tumpul jika dan hanya jika u.v < 0 = jika dan hanya jika u.v = 0Bukti :

Perlu diingat bahwa akan lancip jika dan hanya jika cos > 0, akan tumpul jika dan hanya jika cos $\theta$ < 0 dan $\theta$ akan = $\frac{\pi}{2}$ (siku-siku) jika dan hanya jika cos $\theta$ = 0
Karena $\left \| u \right \|$ > 0 dan $\left \| v \right \|$ > 0 serta berdasarkan Definisi Dot Product bahwa u.v = $\left \| u \right \|$ $\left \| v \right \|$ cos $\theta$ , maka u.v memiliki tanda sama dengan cos $\theta$ .
Karena 0 $\leq \theta \leq \pi$ , maka sudut $\theta$ lancip jika dan hanya jika cos $\theta$ > 0, $\theta$ tumpul jika dan hanya jika cos $\theta$ < 0, dan $\theta$ = $\frac{\pi}{2}$ jika dan hanya jika cos $\theta$ = 0
u.v = v.u
Bukti :
u.v = (u₁, u₂, u₃).(v₁, v₂, v₃)       = (u₁ v₁ + u₂ v₂ + u₃ v₃)      = (v₁ u₁ + v₂ u₂ + v₃ u₃) [komutatif bil.riil]
     = (v₁, v₂, v₃).(u₁, u₂, u₃)
    = v.u
u.(v + w) = u.v + u.w
Bukti :
u.(v + w) = (u₁, u₂, u₃).[(v₁, v₂, v₃) + (w₁, w₂, w₃)]                    = (u₁, u₂, u₃).(v₁ + w₁, v₂ + w₂, v₃ + w₃)                   = (u₁[v₁ + w₁] + u₂[v₂ + w₂] + u₃[v₃ + w₃])
             = ([u₁v₁ + u₁w₁] + [u₂v₂+ u₂w₂] + [u₃v₃ + u₃w₃]) [distributif      bil.riil]
                = ([u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃] + [u₁w₁ + u₂w₂ + u₃w₃])
               = (u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃) + (u₁w₁ + u₂w₂ + u₃w₃)
              = u.v + u.w
k(u.v) = (ku).v = u.(kv)
Bukti :
k(u.v) = k[(u₁, u₂, u₃).(v₁, v₂, v₃)]              = k(u₁ v₁ + u₂ v₂ + u₃ v₃)             = (k[u₁ v₁] + k[u₂ v₂] + k[u₃ v₃])
            = ([ku₁]v₁ + [ku₂]v₂ + [ku₃]v₃) [asosiatif bil.rill]
           = (ku).v
          = (u₁[kv₁] + u₂[kv₂] + u₃[kv₃]) [komutatif bil.riil]
         = u.(kv)
v.v > 0 jika v $\neq$ 0 dan v.v = 0 jika v = 0
Bukti :
Karena v $\neq$ 0 berakibat $\left \| v \right \|$ = $\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}$ > 0, sehingga v.v = $\left \| v \right \|^2$ > 0
Karena v = 0 berakibat $\left \| v \right \|$ = $\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}$ = $\sqrt{0^2+0^2+0^2}$ = 0, sehingga v.v = $\left \| v \right \|^2$ = 0

http://sofianingrumhampatra.wordpress.com/2013/01/29/hasil-kali-titik-pada-vektor-dot-product/#more-490