contoh soal Proyeksi Vektor

Proyeksi Vektor

Misal kita punya dua buah vektor yaitu a dan u yang berada pada ruang yang sama seperti terlihat pada gambar dibawah ini.

Jika vektor u dan a ditempatkan sedemikian sehingga titik awalnya berimpit dan vektor u disusun dari dua vektor yang saling tegak lurus yaitu w₁ dan w₂, sehingga vektor u dapat dituliskan sebagai u = w₁ + w₂. Kemudian vektor a terletak sejajar dengan w₁, sedemikian sehingga w₁ = ka. Jika kita lihat vektor w₁ pada gambar diatas maka vektor w₁ diperoleh dari proyeksi ortogonal u terhadap a dan dapat ditulis sebagai w₁ = ka, w₁ disebut proyeksi ortogonal u pada a [ditulis : proy_au] atau dinamakan komponen vector u sepanjang a, sedangkan w₂ disebut komponen vektor u yang ortogonal terhadap a. Nilai k ini akan menentukan arah dan panjang dari w₁. Jika sudut antara u dan a adalah tumpul , maka tentunya nilai k akan negatif ini juga berarti arah w₁ akan berlawanan dengan arah a [perhatikan gambar diatas].

Bagaimana menghitung proyeksi ortogonal u pada a [proy_au] dan komponen vektor u yang ortogonal terhadap a [u – proy_au] ? Berikut teorema yang memberikan rumus proy_au dan u – proy_au.

Teorema :

Jika u dan a adalah vektor di ruang-2 atau ruang-3 dan jika a 0, maka

proy_au =

u – proy_au = –

Bukti :

Misalkan w₁ = proy_au dan w₂ = u – proy_au.
Dengan menggunakan Hasil Kali Titik, maka diperoleh
u.a   = (w₁ + w₂).a

= w₁.a + w₂.a

Karena a dan w₂ ortogonal, maka diperoleh
= w₁.a

= cos
karena a dan w₁ sejajar, sehingga = 0⁰
= cos 0⁰
= k
k =
karena proy_au = w₁ = ka, sehingga diperoleh
proy_au = ……………………………(Terbukti)
contoh :

Carilah proyeksi ortogonal dari u pada a dan komponen vektor u yang orthogonal ke a.

1. u = (2, 1), a = (-3, 2)
   u.a = (2, 1).(-3, 2)
           = 2(-3) + 1(2)
           = -6 + 2
           = -4
   = (-3)² + 2²
             = 9 + 14
             = 13
   proy_au =
                   = (-3, 2)
                   = (12/13, -8/13)
   w₂ = u – proy_au
   
         = (2, 1) – (12/13, -8/13)
         = (14/13, 21/13)
2. u = (-7, 1, 3), a = (5, 0, 1)
   u.a = (-7, 1, 3). (5, 0, 1)
           = -7(5) + 1(0) + 3(1)
           = -35 + 0 + 3
           = -32
   = (5)² + 0² + 1²
             = 25 + 0 + 1
            = 26
   proy_au =
                   = (5, 0, 1)
                   = (-80/13, 0, -16/13)
   w₂ = u – proy_au
   
         = (-7, 1, 3) – (-80/13, 0, -16/13)
        = (-11/13, 1, 55/13)